Question

【題目】已知冪函數y=f（x）的圖象過點 ．
（1）求函數f（x）的解析式
（2）記g（x）=f（x）+x ， 判斷g（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明之．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意令y=f（x）=xa，由于圖象過點（ ， ），

得 = a，a=﹣1

∴y=f（x）=x﹣1

（2）解：g（x）=f（x）+x=x+

函數 在區間（1，+∞）上是增函數，

證明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，

都有

由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，

于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），

所以，函數 在區間（1，+∞）上是增函數．

【解析】（1）先由冪函數的定義用待定系數法設出其解析式，代入點的坐標，求出冪函數的解析式即可；（2）函數在區間（1，+∞）上為增函數，理由為：在區間（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根據設出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），從而得到函數為增函數．