Question

二項(xiàng)式（

x

-

2

x

）ⁿ的展開式中：
（1）若n=6，求倒數(shù)第二項(xiàng)；
（2）若第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為56：3，求各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=6時(shí)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得倒數(shù)第二項(xiàng)；
（2）依題意，由

C

4 n

•（-2）⁴：

C

2 n

•（-2）²=56：3可求得n=10，從而可求各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和．

解答：解：（1）∵當(dāng)n=6時(shí)，二項(xiàng)式（

x

-

2

x

）⁶的展開式中共7項(xiàng)，倒數(shù)第二項(xiàng)為T₆，
∴T₆=

C

5 6

•

x

•(-

2

x

)5=（-2）⁵•

C

5 6

•x

1

2

-5=-32x-

9

2

．
（2）由

C

4 n

•（-2）⁴：

C

2 n

•（-2）²=56：3得：

4C 4 n

C 2 n

=

56

3

，即

4n(n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1

n(n-1) 1×2

=

56

3

，
整理得：n²-5n-50=0，
解得：n=10或n=-5（舍去）．
∴二項(xiàng)式（

x

-

2

x

）¹⁰的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰=1024．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查其通項(xiàng)公式與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．