Question

二次函數f（x）=3x²-4x+c（x∈R）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為⊙C．
（1）求實數c的取值范圍；
（2）求⊙C的方程；
（3）問⊙C是否經過某定點（其坐標與c的取值無關）？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0求出y的值，確定出拋物線與y軸的交點坐標，令f（x）=0，根據與x軸交點有兩個得到c不為0且根的判別式的值大于0，即可求出c的范圍；
（2）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x²+Dx+F=0，這與x²-x+=0是同一個方程，求出D，F．令x=0得，y²+Ey+F=0，此方程有一個根為c，代入得出E，由此求得圓C的一般方程；
（3）圓C過定點（0，）和（，），證明：直接將點的坐標代入驗證．
解答：解：（1）令x=0，得拋物線與y軸的交點（0，c），
令f（x）=3x²-4x+c=0，
由題意知：c≠0且△＞0，
解得：c＜且c≠0；
（2）設圓C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得到x²+Dx+F=0，這與x²-x+=0是一個方程，故D=-，F=；
令x=0，得到y²+Ey+F=0，有一個根為c，代入得：c²+cE+=0，解得：E=-c-，
則圓C方程為：x²+y²-x-（c+）y+=0；
（3）圓C必過定點（0，）和（，），理由為：
由x²+y²-x-（c+）y+=0，
令y=，解得：x=0或，
∴圓C必過定點（0，）和（，）．
點評：本題主要考查圓的標準方程，一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．