Question

（2011•鹽城二模）已知數列{a_n}滿足a_n+1=-a_n²+pa_n（p∈R），且a₁∈（0，2）．試猜想p的最小值，使得a_n∈（0，2）對n∈N^*恒成立，并給出證明．

Answer 1

分析：利用a₁∈（0，2），所以欲a₂∈（0，2）恒成立，即可p的最小值為2，進而利用數學歸納法的證題步驟，即可得證．

解答：解：當n=1時，a₂=-a₁²+pa₁=a₁（-a₁+p），因為a₁∈（0，2），所以欲a₂∈（0，2）恒成立，
則要

p＞a1 p＜a1+ 2 a1

恒成立，解得2≤p＜2

2

，由此猜想p的最小值為2．（4分）
因為p≥2，所以要證該猜想成立，只要證：當p=2時，a_n∈（0，2）對n∈N^*恒成立．（5分）
現用數學歸納法證明之：
①當n=1時結論顯然成立．（6分）
②假設當n=k時結論成立，即a_k∈（0，2），
則當n=k+1時，a_k+1=-a_k²+2a_k=a_k（2-a_k），
一方面，a_k+1=a_k（2-a_k）＞0成立，（8分）
另一方面，a_k+1=a_k（2-a_k）=-（a_k-1）²+1≤1＜2，所以a_k+1∈（0，2），
即當n=k+1時結論也成立．（9分）
由①、②可知，猜想成立，即p的最小值為2．（10分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．