Question

【題目】如圖甲，在四邊形ABCD中， ， 是邊長為4的正三角形，把沿AC折起到的位置，使得平面PAC平面ACD，如圖乙所示，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）在正三角形中可得，有根據(jù)題意得到平面，從而得，計算可得．由分別為棱的中點(diǎn)，得到，故．根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面．（2）由條件得，故，又可得點(diǎn)到平面的距離為，故可求得三棱錐的體積．

試題解析：

（1）證明 ：因?yàn)?/span>為正三角形， 為的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以．

因?yàn)?/span>，

所以，

所以．

因?yàn)?/span>分別為棱的中點(diǎn)，

所以，

所以，

又，

所以平面．

（2）由，

可得，

因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)?/span>是邊長是為4的等邊三角形，

所以，

又為的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)到平面的距離為，

所以．