Question

19．若m=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）dx，則二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{m}{\sqrt{x}}$）⁶展開式中含x項的系數是60．

Answer 1

分析 m=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）dx=-$\sqrt{2}$$cos（x+\frac{π}{4}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，利用二項式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$展開式中的通項公式即可得出．

解答 解：m=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）dx=-$\sqrt{2}$$cos（x+\frac{π}{4}）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
則二項式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$展開式中的通項公式：${∁}_{6}^{r}（\sqrt{x}）^{6-r}$$（-2{x}^{-\frac{1}{2}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$x^3-r，令3-r=1，解得r=2．
∴含x項的系數=$（-2）^{2}{∁}_{6}^{2}$=60．
故答案為：60．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．