Question

（2010•浙江）若正實數x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是

18

．

Answer 1

分析：首先左邊是xy的形式右邊是2x+y和常數的和的形式，考慮把右邊也轉化成xy的形式，使形式統一．可以猜想到應用基本不等式a+b≥2

ab

．轉化后變成關于xy的方程，可把xy看成整體換元后求最小值．

解答：解：由條件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2

2xy

+6，
令xy=t²，即 t=

xy

＞0，可得t2-2

2

t-6≥0．
即得到(t-3

2

)(t+

2

)≥0可解得 t≤-

2

，t≥3

2

．
又注意到t＞0，故解為 t≥3

2

，
所以xy≥18．
故答案應為18．

點評：本題主要考查了用基本不等式a+b≥2

ab

解決最值問題的能力，以及換元思想和簡單一元二次不等式的解法，屬基礎題．