Question

（1）若m，n∈R，由m²+n²≥2mn可得2（m²+n²）≥m²+n²+2mn，即有2（m²+n²）≥（m+n）²；
（2）已知x＞0，y＞0，且x+y=1，利用（1）中不等式，求

x+ 1 2

+

y+ 1 2

的最大值并求出對應的x，y的值．

Answer 1

分析：利用題中給出的不等式2（m²+n²）≥（m+n）²，結合條件x+y=1，構造出不等關系

x+ 1 2 + y+ 1 2 ≤ 2( x+ 1 2 )2+( y+ 1 2 )2 = 2(x+y+1) =2

，即可求出答案．

解答：解：由(1)可得：m+n≤

2(m2+n2)

…（3分）

∵x＞0，y＞0，x+y=1 ∴ x+ 1 2 + y+ 1 2 ≤ 2( x+ 1 2 )2+( y+ 1 2 )2 = 2(x+y+1) =2…(12分)

∴當且僅當x+

1

2

=y+

1

2

，即x=y=

1

2

時，

x+ 1 2

+

y+ 1 2

有最大值2…（14分）

點評：本題主要考查了不等式的證明，考查了利用基本不等式求最值，屬于基礎題．