如圖，平面
平面
，四邊形
為矩形，
．
為
的中點，
.（1）求證：
；（2）若
與平面
所成的角為
，求二面角
的余弦值.
（1）證明見解析；（2）
.
解析試題分析：（1）本小題證明的是線線垂直，把問題轉化為證明線面垂直（線面垂直
線線垂直），即證
平面
，從而有
；（2）本小題可從傳統幾何方法及空間向量方法入手，法一：先證
，
為等邊三角形，取
的中點
，連結
，
，可證得
為二面角
的平面角，在三角形FMP中用余弦定理的推論完成求值；法二：利用空間向量解決面面角問題，只需找到這兩個面的法向量
，利用公式
完成計算即可，但要注意本題面面角為鈍二面角.
試題解析：（1）證明：連結
，因
，是的中點，故
．又因平面
平面
，故
平面，于是
．又
，所以
平面
，所以
，又因
，故平面，所以．
（2）解法一：由（1），得
．不妨設
，
．因
為直線與平面
所成的角，故
，所以
，為等邊三角形．設
，則，
分別為
，
的中點，也是等邊三角形．取的中點，連結，，則
，
，所以為二面角的平面角．在
中，
，
，故
，即二面角的余弦值為．
解法二：取
的中點
，以
為原點，
，
，
所在的直
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝
CD＝1，PD＝
.
（1）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）在線段PC上是否存在一點Q（除去端點），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為
？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在三棱錐P—ABC中，D，E，F分別為棱PC，AC，AB的中點．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.
求證：（1）直線PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求證：PC⊥BC；
(2)求點A到平面PBC的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且
．
（1）求證：EF∥平面BDC1；
（2）求證：
平面
．
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中，
于
，三邊分別是
，則有
；類比上述結論，寫出下列條件下的結論：四面體
中，
的面積分別是
，二面角
的度數分別是
，則
．
中，
丄平面
，
丄
，
丄
，
，
，
.
丄
的正弦值；
外接球的體積.
中，平面
側面
，且
；
與平面
所成的角為
，求銳二面角
的大小。
中，
．有下列條件：
；②
；③
．其中能成為
的充要條件的是（填上該條件的序號）________。