Question

已知{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n．已知a₄=2，S₅=20．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）設bn=

1

n(12-an)

(n∈N*)，R_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數m，使得對任意n∈N^*，均有Rn＞

m

32

成立？若存在，求出m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設數列a_n的公差為d，根據題意列出關于首項和公差的方程組，解上面方程組首項及公差，最后寫出數列a_n的通項公式即可；
（2）先由a_n≥0且a_n+1＜0，解得數列從第五項開始為負值，從而利用分段函數結合等差數列的前n項和公式寫出T_n即可；
（3）由bn=

1

n(12-an)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項相消求和得R_n，利用R_n單調遞增，即R1=

1

4

是數列R_n的最小值，即可求得m的最大值．

解答：解：（1）設數列a_n的公差為d，則

a1+3d=2 5a1+ 5•4 2 •d=20

．（2分）
解上面方程組得

a1=8 d=-2

..（3分）
所以，數列a_n的通項公式為a_n=8+（n-1）•（-2）
即a_n=10-2n..（4分）
（2）由a_n≥0且a_n+1＜0，解得
當n≤5時T_n=-n²+9n；（5分）
當n＞5時T_n=n²-9n+40；（7分）
所以，Tn=

-n2+9n n≤5 n2-9n+40 n＞5

（n∈N^*）（8分）
（3）由bn=

1

n(12-an)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，裂項相消求和得Rn=

n

2(n+1)

（10分）
因為Rn+1-Rn=

1

2(n+2)(n+1)

＞0，所以R_n單調遞增，即R1=

1

4

是數列R_n的最小值，（12分）
要使Rn＞

m

32

對n∈N^*總成立，只須

m

32

＜R1=

1

4

，
所以m＜8又因為m∈Z，所以m的最大值為7（14分）

點評：本小題主要考查數列的求和、函數單調性的應用、數列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．