Question

如圖,a、b、C為不共面的三條直線,且相交于一點O,點M、N、P分別在直線a、b、C上,點Q是b上異于N的點,判斷MN與PQ的位置關系,并予以證明.

Answer 1

解法一:(反證法)

    假設MN與PQ共面于β,則點M、N、P、Q∈β.

    又點N、Q∈b,同理,∴a、b、C共面,與已知a、b、C不共面矛盾,故MN與PQ為異面直線.

解法二:點QMN.

點P平面MON.

    故平面MON內一點Q與平面外一點P的連線PQ,與平面內不過Q點的直線MN是異面直線.

點評:(1)證明兩條直線異面通常用反證法,反證法是一種間接證法,在立體幾何證題中經常用到,在運用反證法時,一定要嚴格按照步驟分層次進行.

(2)利用反證法證明兩條直線異面,有兩種假設:一是假設兩直線共面;二是假設兩直線平行或相交,必須指出,后一種假設往往不如前一種假設優越.

(3)定理法也是判斷兩直線異面的一種重要方法,運用時,要積極尋找定理的條件.