Question

函數f（x）=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x的值域為

 

．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,復合三角函數的單調性

專題：計算題,三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：運用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：函數f（x）=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=（sin⁴x-cos⁴x）+

3

•（2sinxcosx）
=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

6

）
由于x∈R，則sin（2x-

π

6

）∈[-1，1]，
則f（x）的值域為[-2，2]．
故答案為：[-2，2]．

點評：本題考查三角函數的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查正弦函數的值域，屬于基礎題．