Question

20．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，討論函數y=f（x）的單調性；
（Ⅲ）設g（x）=（x²-2x）e^x，若對任意x₁∈（0，2），均存在x₂∈（0，2），使得f（x₁）＜g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由導數的幾何意義，根據曲線y=f（x）在x=l和x=3處的切線互相平行，求得a值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a值代入函數解析式，求導后利用導函數的符號求得單調區間；
（Ⅲ）由題意得，若要命題成立，只須當x∈[0，2]時，f（x）_max＜g（x）_max．利用導數分別求得f（x）、g（x）的最大值，解不等式得出a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（x∈R）．
∴f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，f′（1）=-a+1，f′（3）=a-$\frac{1}{3}$，
由f′（1）=f′（3）得a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）把a=$\frac{2}{3}$代入可得，f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-7x+6}{x}=\frac{（2x-3）（x-2）}{x}$，
∴當x∈（0，$\frac{3}{2}$），（2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（$\frac{3}{2}$，2）時，f′（x）＜0，
∴y=f（x）的單調遞增區間為（0，$\frac{3}{2}$），（2，+∞），
單調遞減區間為（$\frac{3}{2}$，2）；
（Ⅲ）若要命題成立，只須當x∈[0，2]時，f（x）_max＜g（x）_max．
由g'（x）=（x²-2）e^x可知，當x∈（0，2]時g（x）_max=g（2）=0，
∴只須f（x）_max＜0．
對f（x）來說，f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，
①當a＞$\frac{1}{2}$時，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2，
當a≥1時，顯然f（x）_max＜0，滿足題意，
當$\frac{1}{2}$＜a＜1時，令h（x）=-2lnx-$\frac{1}{2x}$-2（$\frac{1}{2}$＜x＜1），h′（x）=-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$＜0，
∴h（x）遞減，則h（x）＜0，滿足題意，
∴a＞$\frac{1}{2}$滿足題意；
②當a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在x∈（0，2）上單調遞增，
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0得ln2-1＜a≤$\frac{1}{2}$，
綜上所述，a＞ln2-1．

點評 本題考查利用導數求曲線的切線斜率及利用導數研究函數的單調性、最值等知識，考查等價轉化、分類討論等數學思想方法，考查運用能力，屬難題．