Question

△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，向量

p

=（1，-

3

），

q

=（cosB，sinB），且

p

∥

q

且bcosC+ccosB=2asinA，則∠C=（　　）

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

Answer 1

分析：由兩向量的坐標(biāo)及兩向量平行滿足的條件列出關(guān)系式，利用同角三角形函數(shù)間的基本關(guān)系求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，再利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后根據(jù)sinA的值不為0，求出sinA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，即可求出∠C的度數(shù)．

解答：解：∵向量

p

=（1，-

3

），

q

=（cosB，sinB），且

p

∥

q

，
∴sinB=-

3

cosB，即tanB=-

3

，
∵∠B為三角形的內(nèi)角，∴∠B=120°，
把bcosC+ccosB=2asinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinBcosC+sinCcosB=2sin²A，即sin（B+C）=sinA=2sin²A，
∵sin∠A≠0，∴sinA=

1

2

，
又∠A為三角形的內(nèi)角，∴∠A=30°，
則∠C=30°．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．