Question

【題目】已知函數.若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點.

（1）若a，且a≠0，證明：函數有局部對稱點；

（2）若函數在定義域內有局部對稱點，求實數c的取值范圍；

（3）若函數在R上有局部對稱點，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）若函數有局部對稱點,則,即有解,即可求證；

（2）由題可得在內有解,即方程在區間上有解,則,設,利用導函數求得的范圍,即可求得的范圍；

（3）由題可得在上有解,即在上有解,設,則可變形為方程在區間內有解,進而求解即可.

（1）證明:由得,

代入得,

則得到關于x的方程,由于且,所以,

所以函數必有局部對稱點

（2）解:由題,因為函數在定義域內有局部對稱點

所以在內有解,即方程在區間上有解,

所以,

設,則,所以

令,則,

當時,,故函數在區間上單調遞減,當時,,

故函數在區間上單調遞增,

所以,

因為,,所以,所以,

所以

（3）解:由題,,

由于,所以,

所以（*）在R上有解,

令,則,

所以方程（*）變為在區間內有解,

需滿足條件：

,即,

得