Question

設實數x、y滿足y+x²=0，0＜a＜1．求證：log_a（a^x+a^y）＜log_a2+

1

8

．

Answer 1

分析：利用放縮法解決．先利用基本不等式將待證不等式的左式進行放縮，a^x+a^y≥2

ax+y

=2

ax-x2

，再利用二次函數的最值進行放縮即可得．

解答：證明：∵a^x＞0，a^y＞0，
∴a^x+a^y≥2

ax+y

=2

ax-x2

．
∵x-x²=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，0＜a＜1，
∴a^x+a^y≥2

a 1 4

=2a

1

8

．
∴log_a（a^x+a^y）＜log_a2a

1

8

=log_a2+

1

8

；
故原等式得證．

點評：在證明不等式的時候，在直接證明遇到困難的時候，可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強為一個易證的不等式，即欲證A＞B，我們可以適當的找一個中間量C作為媒介，證明A＞C且C＞B，從而得到A＞B．我們把這種把B放大到C（或把A縮小到C）的方法稱為放縮法．