Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，平面外一點在平內的射影恰在邊的中點上，．

（1）求證：平面平面；

（2）若在線段上，且平面，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）推導出PQ⊥平面ABCD，PQ⊥AD，CD∥BQ，從而BQ⊥AD，進而AD⊥平面PBQ，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．

（2）連接AC與BQ交于點N，則N為AC中點，則點M到平面PAB的距離是點C到平面PAB的距離的，求出三棱錐P-ABC的體積V=，PAB的面積為，設點M到平面PAB的距離為d，由VC-PAB=VP-ABC，能求出點M到平面PAB的距離．

（1）∵P在平面ABCD內的射影Q恰在邊AD上，

∴PQ⊥平面ABCD，

∵AD平面ABCD，∴PQ⊥AD，

∵Q為線段AD中點，

∴CD∥BQ，∴BQ⊥AD，∴AD⊥平面PBQ，AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）連接AC與BQ交于點N，則N為AC中點，

∴點M到平面PAB的距離是點C到平面PAB的距離的，

在三棱錐P-ABC中，高PQ=，底面積為，

∴三棱錐P-ABC的體積V==，

又△PAB中，PA=AB=2，PB=，

∴△PAB的面積為，

設點M到平面PAB的距離為d，

由VC-PAB=VP-ABC，得=，

解得d=，

∴點M到平面PAB的距離為．