Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）過拋物線上一點作兩條互相垂直的弦和，試問直線是否過定點，若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線恒過定點

【解析】

（1）設(shè)，代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義，可得，進(jìn)而得到拋物線方程；

（2）由題可得，直線的斜率不為，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與曲線方程，由，則，即可得到，的關(guān)系式，再求出直線過定點；

解：（1）設(shè)，代入得：，即

由得：，解得：或（舍去）

故拋物線C的方程為：.

（2）由題可得，直線的斜率不為

設(shè)直線：，，

聯(lián)立，得：，

，，

由，則，即.

于是

，所以

或

當(dāng)時，

直線：，恒過定點，不合題意，舍去.

當(dāng)，，直線：，恒過定點

綜上可知，直線恒過定點