Question

(本題滿分16分) 矩形ABCD中，AB =2，AD = ，H是AB中點，以H為直角頂點作矩形的內接直角三角形HEF，其中E，F分別落在線段BC和線段AD上，如圖．記∠BHE為θ，記Rt△EHF的周長為 l．⑴試將 l 表示為 θ 的函數；

⑵求 l 的最小值及此時的 θ．

Answer 1

(Ⅰ)  l =   (θ ∈[，])； (Ⅱ) 2( +1)

解析:

⑴∵△EHF是直角三角形，∠BHE = θ，∴∠AFH = θ，∵AB =2，H是AB中點，

∴ AH = FHsin θ = 1，FH = ，同理EH = ，   3分

∴ l = FH +EH +EF = + + = ，  6分

 當F與D重合時，θ 取到最小值 ，當E與C重合時，θ 取到最大值 ，

∴ θ ∈[，]，∴ l =   (θ ∈[，])；       8分

⑵令sin θ + cos θ = t，則sin θcos θ = ，∴ l = = ，  11分

∵θ ∈[，]，∴θ + ∈[，]，t = sin(θ +)∈[，]， 14分

 ∴ 當t = 時，即 θ = 時，l取到最小值 = 2( +1)