Question

函數f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性質：
①f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③函數f（x）的值域為[

13

，+∞）；
④方程f（f（x））=1+

10

有兩個解，上述關于函數的性質說法正確的是（　　）

• A、①③
• B、③④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,推理和證明

分析：①因為函數不是奇函數，所以錯誤．②利用函數對稱性的定義進行判斷．③利用兩點之間線段最短證明．④利用函數的值域進行判斷．

解答： 解：①因為f（-x）=

x2+1

+

x2+6x+10

≠-f（x），所以函數不是奇函數，所以圖象關于原點不對稱，所以錯誤．
②因為f（3-x）=

(3-x)2+1

+

(3-x)2-6(3-x)+10

=

x2+1

+

x2-6x+10

，所以f（x）的圖象關于x=

3

2

對稱，所以②正確．
③由題意值f（x）≥f（

3

2

），而f（

3

2

）=

13

2

+

13

2

=

13

，所以f（x）≥

13

，即函數f（x）的值域為[

13

，+∞），正確．
④設f（x）=t，則方程f[f（x）]=1+

10

，等價為f（t）=1+

10

，即t=0，或t=3．
因為函數f（x）≥

13

，所以當t=0或t=3時，不成立，所以方程無解，所以④錯誤．
故正確的說法為：②③
故選：C

點評：本題綜合考查了函數的性質，綜合性較強，運算量較大，考查學生的分析能力．