Question

已知兩圓C₁：x²+y²+6x-4=0和圓C₂：x²+y²+6y-28=0，
（1）判斷兩圓的位置關系；   （2）若相交請求出兩圓公共弦的長；
（3）求過兩圓的交點，且圓心在直線x-y=0上的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）將來那個圓的圓心距和兩圓的半徑之和、半徑之差作對比，從而判斷兩圓的位置關系．
（2）將兩圓的方程相減可得公共弦方程，求出圓C₁的圓心到公共弦的距離，由弦長公式求得兩圓公共弦的長．
（3）設圓的方程：x²+y²+6x-4+λ（x²+y²+6y-28）=0，把圓心坐標代入所設的圓的方程求出λ值，可得所求的圓的方程．

解答：解：（1）將圓C₁：x²+y²+6x-4=0和圓C₂：x²+y²+6y-28=0化為標準形式分別為：（x+3）²+y²=13和x²+（y+3）²=37，
兩圓的圓心距、半徑之和、半徑之差分別為：d=3

2

，R+r=

37

+

13

，R-r=

37

-

13

，
因為R-r＜d＜R+r，所以，兩圓相交．
（2）將兩圓的方程相減可得公共弦方程：x-y+4=0，圓C₁：x²+y²+6x-4=0到公共弦的距離d=

|-3+0+4|

2

=

2

2

，
由弦長公式求得公共弦弦長=2

r2-d2

=2

13- 1 2

=5

2

．
（3）設圓的方程：x²+y²+6x-4+λ（x²+y²+6y-28）=0，
其圓心坐標為（-

3

1+λ

，-

3λ

1+λ

）代入所設的圓的方程，解得λ=1（11分）
所以所求方程為x²+y²+3x+3y-16=0．

點評：本題考查兩圓的位置關系的判定方法，點到直線的距離公式、弦長公式、圓系方程的應用．