Question

無論m取何值，函數y=2sin(

kx

3

+

π

4

)在區間[m+

2

3

，m+

3

4

)(m∈R)上至少有一個最大值和最小值，則正整數k的最小值為

227

．

Answer 1

分析：先根據在任意兩個整數之間（包括正整數本身）變化時，函數f（x）至少有一個最大值和最小值，可確定函數f（x）的最小正周期的范圍，再由正弦函數的最小正周期的求法可得到k的取值范圍，進而可得到答案．

解答：解：為使函數y=2sin(

kx

3

+

π

4

)在區間[m+

2

3

，m+

3

4

)(m∈R)上至少有一個最大值和最小值，
m+

3

4

-(m+

2

3

)=

1

12

函數f（x）的最小正周期一定不大于

1

12

∴T=

2π

k 3

=

6π

k

≤

1

12

，
∴k≥72π≈72×3.14=226.8，
∴k的最小自然數為227．

點評：本題主要考查正弦函數的基本性質--周期性．三角函數是高考的一個重要考點，屬于中檔題．