Question

【題目】已知圓C過點(diǎn)，且與圓外切于點(diǎn)，是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

當(dāng)圓C上存在點(diǎn)Q，使，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

當(dāng)時(shí)，過P作直線PA，PB與圓C分別交于異于點(diǎn)P的點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且求證：直線AB恒過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）直線AB恒過定點(diǎn)．

【解析】

1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2+（y﹣b）2=r2，由已知可得關(guān)于r，b的方程組求解得答案；

（2）把圓C上存在點(diǎn)Q，使∠CPQ=30°，轉(zhuǎn)化為直線y=（x﹣m）與圓C有交點(diǎn)，由圓心到直線的距離小于半徑求解；

（3）m=1時(shí)，P（1，0），設(shè)kPA=k，則kPB=，可得直線PA，PB的方程，與圓的方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，寫出AB所在直線方程，分別取k=1和﹣1，得到直線方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再代回直線方程驗(yàn)證得答案．

設(shè)圓C：，

則，解得，，，

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

解：當(dāng)圓C上存在點(diǎn)Q，使，等價(jià)于直線與圓C有交點(diǎn)，

圓C到直線的距離小于等于半徑1，

即，解得，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是；

證明：時(shí)，，設(shè)，則，

則直線PA：，PB：，

聯(lián)立，得，

則，得，．

，

同理可得

則．

直線AB的方程為

當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為．

聯(lián)立，解得，．

把點(diǎn)代入成立，

直線AB恒過定點(diǎn)．