Question

18．已知△ABC的三邊長分別為x，4，2x，則其面積的最大值為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 設值為4的邊長所對的角為θ，由余弦定理可得cosθ=$\frac{5{x}^{2}-16}{4{x}^{2}}$，利用同角三角函數基本關系式可求sinθ，利用三角形面積公式可求S_△ABC=$\frac{\sqrt{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}}{4}$，利用二次函數的性質即可得解S_△ABC的最大值．

解答 解：∵△ABC的三邊長分別為x，4，2x，設值為4的邊長所對的角為θ，
∴由余弦定理可得：cosθ=$\frac{{x}^{2}+（2x）^{2}-{4}^{2}}{2×x×（2x）}$=$\frac{5{x}^{2}-16}{4{x}^{2}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-16}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{-（9{x}^{4}+1{6}^{2}-160{x}^{2}）}{16{x}^{4}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}{16{x}^{4}}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•x•（2x）×sinθ=x²•$\sqrt{\frac{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}{16{x}^{4}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4096}{9}-（3{x}^{2}-\frac{80}{3}）^{2}}}{4}$，
∴當3x²-$\frac{80}{3}$=0，即x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時，S_△ABC的最大值為：$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，二次函數的圖象和性質，同角三角函數基本關系式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．