Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，記和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數為M（A）．對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數列，則M（B）=

 

．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成圖表，嚴格利用題目給出的新定義，采用列舉法來進行求解即可．

解答： 解：對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數列，
則 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示圖表：
b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n-1+b_n，
b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n-2+b_n，
…，…，…，
b₁+b_n-2，b₂+b_n-1，b₃+b_n，
b₁+b_n-1，b₂+b_n，
b₁+b_n，
∵數列{b_n}是等差數列，
∴b₁+b₄=b₂+b₃，b₁+b₅=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n-1．
∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重復，即第二列剩余一個不重復的值，
同理，以后每列剩余一個與前面不重復的值，
∵第一列共有n-1個不同的值，后面共有n-1列，
∴所有不同的值有：n-1+n-2=2n-3，故M（B）=2n-3，
故答案為2n-3．

點評：本題是新定義題，考查了等差數列的性質，準確列出 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值表是解決該題的關鍵，是中檔題．