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18.現要制作一個圓錐形漏斗,其母線長為t,要使其體積最大,其高為(  )
A..$\frac{1}{3}{t^2}$B.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}t$.C..$\frac{{\sqrt{2}}}{3}t$.D..$\frac{1}{2}t$

分析 設圓錐形漏斗的高為h,我們可以表示出底面半徑r,進而得到圓錐體積的表達式,利用導數法,易得到體積取最大值時,高h與母線l之間的關系.

解答 解:設圓錐形漏斗的高為h,則圓錐的底面半徑為$\sqrt{{t}^{2}-{h}^{2}}$,(0<h<t)
則圓錐的體積V=$\frac{1}{3}$•π(t2-h2)•h=-$\frac{π}{3}$h3+$\frac{π{t}^{2}}{3}$h
則V′=-πh2+$\frac{π{t}^{2}}{3}$,
令V′=0
則h=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$t
∵0<h<t
∴當高h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t時,圓錐的體積取最大值,
故選:B.

點評 本題考查的知識點是圓錐的體積,函數的最值,導數法在求函數最值中的應用,其中設出漏斗的高為h,表示出底面半徑r,進而得到圓錐體積的表達式,建立函數數學模型是解答本題的關鍵.

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