Question

18．現要制作一個圓錐形漏斗，其母線長為t，要使其體積最大，其高為（　　）

• A． .$\frac{1}{3}{t^2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}t$．
• C． .$\frac{{\sqrt{2}}}{3}t$．
• D． .$\frac{1}{2}t$

Answer 1

分析 設圓錐形漏斗的高為h，我們可以表示出底面半徑r，進而得到圓錐體積的表達式，利用導數法，易得到體積取最大值時，高h與母線l之間的關系．

解答 解：設圓錐形漏斗的高為h，則圓錐的底面半徑為$\sqrt{{t}^{2}-{h}^{2}}$，（0＜h＜t）
則圓錐的體積V=$\frac{1}{3}$•π（t²-h²）•h=-$\frac{π}{3}$h³+$\frac{π{t}^{2}}{3}$h
則V′=-πh²+$\frac{π{t}^{2}}{3}$，
令V′=0
則h=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$t
∵0＜h＜t
∴當高h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t時，圓錐的體積取最大值，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是圓錐的體積，函數的最值，導數法在求函數最值中的應用，其中設出漏斗的高為h，表示出底面半徑r，進而得到圓錐體積的表達式，建立函數數學模型是解答本題的關鍵．