Question

已知橢圓4x²＋y²＝1及直線l：y＝x＋m．

(Ⅰ)當m為何值時，直線l與橢圓有公共點？

(Ⅱ)若直線l被橢圓截得的線段長為，求直線的方程．

(Ⅲ)若直線l與橢圓相交于A、B兩點，是否存在m的值，使得？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把直線y＝x＋m代入4x2＋y2＝1得5x2＋2mx＋m2－1＝0　①　　1分 　　∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝－16m2＋20≥0 　　－≤m≤　　2分 　　(2)設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 　　由①得，3分 　　∴(x1＋x2)2－4x1x2＝　　4分 　　∴＝　　5分 　　解得m＝±　　6分 　　∴所求直線方程為y＝x±．7分 　　(3)設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點， 　　由①得 　　若存在m的值，使得，則有　　8分 　　　　9分 　　，解得　　10分 　　又由(1)直線和橢圓有公共點，需滿足－≤m≤　　11分 　　∵＜ 　　∴存在滿足題意　　12分