Question

在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為 (為參數)，曲線的參數方程為(為參數)．在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與，各有一個交點．當時，這兩個交點間的距離為，當時，這兩個交點重合．
（Ⅰ）分別說明，是什么曲線，并求出a與b的值；
（Ⅱ）設當時，與，的交點分別為，當時，與，的交點分別為，求四邊形的面積．

Answer 1

（Ⅰ）C₁是圓，C₂是橢圓; （Ⅱ）四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為

試題分析：（Ⅰ）根據圓和橢圓的參數方程特征可以判斷出C₁是圓，C₂是橢圓；然后還原到直角坐標系中，根據即表示的x軸的非負半軸，根據表示的是y軸的非負半軸可以分別求出a＝3和b＝1；
（Ⅱ）先分別求出在直角坐標系下的方程：C₁：，C₂：然后再求出第一象限的角平分線與C₁，C₂的交點坐標和第四象限與C₁，C₂交點坐標，根據坐標判斷出四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形，然后求得面積.
試題解析：（Ⅰ）C₁是圓，C₂是橢圓．
當時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為(1，0)，(a，0)，因為這兩點間的距離為2，所以a＝3.
當時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為(0，1)，(0，b)，因為這兩點重合，所以b＝1.
（Ⅱ）C₁，C₂在平面直角標系下的方程分別為
當時，射線l與C₁交點A₁的橫坐標為，與C₂交點B₁的橫坐標為
當時，射線l與C₁，C₂的兩個交點A₂，B₂分別與A₁，B₁關于x軸對稱，因此四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形．
故四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為