Question

方程x²+x-1=xex2-1+(x2-1)ex的解集為A（x∈R）則A中所有元素的平方和等于（　　）

A．0

B．l

C．2

D．4

Answer 1

分析：先觀察、變形、估測方程的實數根，然后通過分類討論加以證明即可．

解答：解：將方程x²+x-l=xex2-1+(x2-1)ex變為x2-1=x(ex2-1-1)+(x2-1)ex，可知x=±1，0時滿足方程，
∴x=±1，0是方程的解．
下面證明此方程的解只有±1，0．
證明：①當x＞1時，把方程變為x×

ex2-1-1

x2-1

+ex-1=0，
∵x＞1，∴ex2-1＞1，x²-1＞0，e^x-1＞e-1＞0，故左邊＞0，即方程沒有大于1的解；
②當x＜-1時，把方程變為1-x×

ex2-1-1

x2-1

=e^x，
∵x＜-1，∴ex2-1＞1，x²-1＞0，故左邊＞1，而右邊=e^x＜e-1=

1

e

＜1，∴左邊≠右邊，即方程沒有小于-1的解；
③當0＜x＜1時，把方程變為x×

ex2-1-1

x2-1

+ex-1=0，
∵0＜x＜1，∴ex2-1＜1，x²-1＜0，e^x＞1，∴左邊＞0，即方程沒有大于0而小于1的解；
④當-1＜x＜0時，把方程變為1-x×

ex2-1-1

x2-1

=e^x，
∵-1＜x＜0，∴ex2-1＜1，x²-1＜0，e^x＜1，∴左邊＞1，右邊＜1，即方程沒有大-1而小于0的解．
綜上可知：此方程只有±1，0三個實數根．
∴A={-1，1，0}．
∴則A中所有元素的平方和=1²+（-1）²+0=2．
故答案為C．

點評：本題培養學生的觀察、變形、估測能力，同時注意分類討論的思想應用．本題較好的培養了學生的靈活解決問題的能力．