Question

2．已知：$\overrightarrow a=（2sinx，-\sqrt{3}cosx），\overrightarrow b=（cosx，2cosx），設f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求f（x）的最小正周期和最大值．
（2）將f（x）的圖象左移$\frac{π}{3}$個單位，并上移$\sqrt{3}$個單位得到g（x）的圖象，求g（x）的解析式．
（3）設h（x）是g（x）的導函數，當0≤x≤$\frac{π}{2}$時，求h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數量積公式，三角恒等變換化簡函數的解析式，再根據正弦函數的周期性和最大值，得出結論．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式．
（3）先求出g（x）的導數，再利用余弦函數的定義域和值域，求得h（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x=sin2x-2$\sqrt{3}$$•\frac{1+cos2x}{2}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，最大值為2-$\sqrt{3}$．
（2）將f（x）的圖象左移$\frac{π}{3}$個單位，可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$）]-$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$的圖象，
再把所得圖象上移$\sqrt{3}$個單位得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$） 的圖象．
（3）設h（x）是g（x）的導函數，∴h（x）=4cos（2x+$\frac{π}{3}$），
當0≤x≤$\frac{π}{2}$時，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，cos（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，∴h（x）∈[-2，2]．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角恒等變換，正弦函數的周期性和最大值，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，余弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．