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設y=f(x)是定義在R上的函數,如果存在A點,對函數y=f(x)的圖像上任意點P,P關于點A的對稱點Q也在函數y=f(x)的圖像上,則稱函數y=f(x)關于點A對稱,A稱為函數f(x)的一個對稱點.對于定義在R上的函數f(x),可以證明點A(a,b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a-x)+f(a+x)=2b,x∈R.

(1)求函數f(x)=x3+3x2圖像的一個對稱點;

(2)函數g(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像是否有對稱點?若存在則求之,否則說明理由.

答案:
解析:

  解:(1)設為函數圖像的一個對稱點,則對于恒成立.即對于恒成立,

  

  故函數圖像的一個對稱點為

  (2)假設是函數(的圖像的一個對稱點,

  則(對于恒成立,

  即對于恒成立,因為,所以不恒成立,

  即函數(的圖像無對稱點.


練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:中學教材標準學案 數學 高二上冊 題型:044

設y=f(x)是定義在區間[-1,1]上的函數,且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明:對任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)判斷函數g(x)=是否滿足題設條件;

(3)在區間[-1,1]上是否存在滿足題設條件的函數y=f(x),且使得對任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|.

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:設計選修數學-1-2蘇教版 蘇教版 題型:044

(精典回放)設y=f(x)是定義在區間[-1,1]上的函數,且滿足條件:①f(-1)=f(1)=0;②對任意的μ、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤-v|

(1)證明:對任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明:對任意的μ、v∈[-1,1],都有

|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區間[-1,1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y=f(x),且使得:

|f(μ)-f(v)|<-v|,當μ、v∈[0,].

|f(μ)-f(v)|<-v|,當μ、v∈[,1].

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:泰州市2006~2007學年度第一學期期末聯考高3數學試題 題型:022

設y=f(x)是定義在R上的函數,給定下列三個條件:(1)y=f(x)是偶函數;(2)y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱;(3)T=2為y=f(x)的一個周期.如果將上面(1)、(2)、(3)中的任意兩個作為條件,余下一個作為結論,那么構成的三個命題中真命題的個數有________個.

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科目:高中數學 來源:江西省遂川中學2008屆高三第一次月考數學試卷(理) 題型:044

設y=f(x)是定義在R上的函數,如果存在A點,對函數y=f(x)的圖像上任意點P,P關于點A的對稱點Q也在函數y=f(x)的圖像上,則稱函數y=f(x)關于點A對稱,A稱為函數f(x)的一個對稱點.對于定義在R上的函數f(x),可以證明點A(a,b)是f(x)圖像的一個對稱點的充要條件是f(a-x)+f(a+x)=2b,x∈R.

(1)求函數f(x)=x3+3x2圖像的一個對稱點;

(2)函數

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科目:高中數學 來源:天津市新人教A版數學2012屆高三單元測試8:奇偶性及周期性 新人教A版 題型:044

設y=f(x)是定義在R上的偶函數,其圖象關于x=1對稱,對任意的,都有,且f(1)=a>0

(1)求

(2)證明:y=f(x)是周期函數.

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