Question

(精典回放)設y＝f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：①f(－1)＝f(1)＝0；②對任意的μ、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|μ－v|

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)證明：對任意的μ、v∈[－1，1]，都有

|f(u)－f(v)|≤1；

(3)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y＝f(x)，且使得：

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[0，]．

|f(μ)－f(v)|＜|μ－v|，當μ、v∈[，1]．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由題設條件可知，當x∈[－1，1]時，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x． 　　即：x－1≤f(x)≤1－x． 　　(2)證明：對任意的u、v∈[－1，1]． 　　當|u－v|≤1時，有|f(u)－f(v)|≤|u－v|≤1． 　　當|u－v|＞1時，有u·v＜0，不妨設u＜0，則v＞0，且v－u＞1， 　　所以|f(u)－f(v)|≤|f(u)－f(－1)|＋|f(v)－f(1)|≤|u＋1|＋|v－1|＝1＋u＋1－v＝2－(v－u)＜1． 　　綜上可知：對任意的u、v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤1． 　　(3)解：滿足所述條件的函數不存在，理由如下：假設存在函數f(x)滿足條件，則由 　　|f(u)－f(v)|＝|u－v|，u、v∈[，1]， 　　得|f()－f(1)|＝|－1|＝． 　　又f(1)＝0，所以|f()|＝ 　　又因為f(x)為奇函數，所以f(0)＝0． 　　由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，v∈[0，]， 　　得|f()|＝|f()－f(0)|＜． 　　這與|f()|＝矛盾，所以假設不成立，即這樣的函數不存在．