Question

設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：

①f(－1)＝f(1)＝0；

②對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|≤|u－v|．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；

(2)判斷函數(shù)g(x)＝是否滿足題設(shè)條件；

(3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y＝f(x)，且使得對任意的u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|．

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，有|f(x)|＝|f(x)－f(1)|≤|x－1|＝1－x，即x－1≤f(x)≤1－x． 　　(2)答：函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件．驗(yàn)證如下：g(－1)＝0＝g(1)． 　　對任意u，v∈[－1，1]， 　　當(dāng)u，v∈[0，1]時(shí)，有|g(u)－g(v)|＝|(1－u)－(1－v)|＝|u－v|； 　　當(dāng)u，v∈[－1，0]時(shí)，同理有|g(u)－g(v)|＝|u－v|； 　　當(dāng)u·v＜0時(shí)，不妨設(shè)u∈[－1，0)，v∈(0，1]，有|g(u)－g(v)|＝|(1＋u)－(1－v)|＝|u＋v|≤|v－u|＝|u－v|． 　　所以，函數(shù)g(x)滿足題設(shè)條件． 　　(3)答：這樣的函數(shù)不存在．理由如下： 　　假設(shè)存在f(x)滿足條件，則由f(－1)＝f(1)＝0得 　　|f(1)－f(－1)|＝0．　�、� 　　由于對任意u，v∈[－1，1]，都有|f(u)－f(v)|＝|u－v|， 　　所以，|f(1)－f(－1)|＝|1－(－1)|＝2．　�、� 　�、倥c②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．