Question

已知直線方程為（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0．
（1）證明：不論λ為何實數，直線恒過定點．
（2）直線m過（1）中的定點且在兩坐標軸的截距的絕對值相等，求滿足條件的直線m方程．

Answer 1

分析：（1）直線方程即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由

x+2y=0 3x-y+7=0

可得

x=-2 y=1

，從而求得直線恒過定點A（-2，1）．
（2）當直線過原點時，由點斜式求得直線方程為 y=-

1

2

x，當直線不過原點時，設方程為x+y=a，或 x-y=b，把定點A的坐標代入所設的方程，求出a、b的值，即可求得
滿足條件的直線m方程．

解答：解：（1）證明：∵直線方程為（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0，即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由

x+2y=0 3x-y+7=0

可得

x=-2 y=1

，
故不論λ為何實數，直線恒過定點A（-2，1）．
（2）由題意可得，直線m經過定點A（-2，1），且在兩坐標軸的截距的絕對值相等．
當直線過原點時，由點斜式求得直線方程為 y=-

1

2

x，即 x+2y=0．
當直線不過原點時，設方程為x+y=a，或 x-y=b，把定點A的坐標代入可得-2+1=a，或-2-1=b，
解得 a=-1，b=-3，故直線的方程為 x+y+1=0，或  x-y+3=0．
綜上可得，所求的直線的方程為 x+2y=0，或 x+y+1=0，或 x-y+3=0．

點評：本題主要考查直線過定點問題，求直線的方程，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．