Question

已知向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），f（x）=

a

•

b

（1）若x∈[2π，3π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈（-

π

4

，

π

4

），且f（x）=-1，求tan2x的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，化簡f（x）的解析式為1-3

2

sin（x+

π

4

），由
2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范圍即得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（x）=-1 解得sin（x+

π

4

）=

2

3

，由x的范圍可求得cos（x+

π

4

）的值，由tan2x=

sin2x

cos2x

=

-cos2(x+ π 4 )

sin2(x+ π 4 )

，
使用二倍角公式求得結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）=1-3

2

sin（x+

π

4

），由 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
可得   2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，再由 2π≤x≤3π 可得，2π≤x≤

9π

4

，
故單調(diào)遞增區(qū)間是[2π，

9π

4

]．
（2）由f（x）=-1 可得 1-3

2

sin（x+

π

4

）=-1，可得sin（x+

π

4

）=

2

3

，∵x∈（-

π

4

，

π

4

），
∴0＜x+

π

4

＜

π

2

，∴cos（x+

π

4

）=

7

3

，tan2x=

sin2x

cos2x

=

-cos2(x+ π 4 )

sin2(x+ π 4 )

=

-[1-2sin2(x+ π 4 )]

2sin(x+ π 4 )cos(x+ π 4 )

=

-[1-2× 2 9 ]

2× 2 3 × 7 3

=

-5 14

28

．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意角的范圍．