Question

如圖，已知平面，四邊形是矩形，，，點，分別是，的中點．

（Ⅰ）求三棱錐的體積；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）若點為線段中點，求證：∥平面．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）因為平面，所以為三棱錐的高。因為是矩形，所以可求底面的面積，根據錐體體積公式可求此三棱錐的體積。（Ⅱ）根據平面，四邊形是矩形，可證得平面，從而可得，再根據等腰三角形中線即為高線可得，根據線面垂直的判定定理可得平面。（Ⅲ）連結交于，可證得為中點，由中位線可證得∥，再由線面平行的判定定理可證得∥平面。
試題解析：（Ⅰ）解：因為平面，
所以為三棱錐的高．                       2分
，
所以．                        4分
（Ⅱ）證明：因為平面，平面，所以，
因為， 所以平面
因為平面， 所以．                         6分
因為，點是的中點，所以，又因為，
所以平面．                                    8分
（Ⅲ）證明：連結交于，連結，．

因為四邊形是矩形，所以，且，
又，分別為，的中點， 所以四邊形是平行四邊形，
所以為的中點，又因為是的中點，
所以∥，                                        13分
因為平面，平面，
所以∥平面.                                   14分