Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，若存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．a(chǎn)＜2

B．a(chǎn)＜4

C．2≤a＜4

D．a(chǎn)＞2

Answer 1

分析：已知函數(shù)f（x）的解析式，存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，根據(jù)函數(shù)的對稱軸和二次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解；

解答：解：當(dāng)x≤1時，f（x）=-x²+ax，開口向下，對稱軸為x=-

a

-2

=

a

2

，
x＞1時，一次函數(shù)y=2ax-5恒過點(diǎn)（0，-5），是一條直線，與x軸的交點(diǎn)（

5

2a

，0），
根據(jù)存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
當(dāng)-

a

-2

＜1時，即a＜2，對稱軸小于1，開口向下，此時直線y=2ax-5，與x軸的交點(diǎn)（

5

2a

，0），
此時

5

2a

＞

5

4

，如下圖：


肯定存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
滿足條件；即a＜2；
當(dāng)a≥2時，對稱軸大于1，存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
如下圖：
直線y=2ax-5在直線l處肯定不行，在m處可以，
此時需要：二次函數(shù)y=-x²+ax，在x=1處的函數(shù)值，大于等于一次函y=2ax-5數(shù)在x=1處的函數(shù)值，
可得在x=1處有1+a＞2a-5，即2≤a＜4，
綜上得a＜4；
故選B；

點(diǎn)評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象，考查的知識點(diǎn)比較全面，用到了分類討論的思想，是一道基礎(chǔ)題；