Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），l： （t為參數）
（1）求曲線C的普通方程，l的直角坐標方程
（2）設l與C交于M，N兩點，點P（﹣2，0），若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲線C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），∴ρ2sin2θ=2aρcosθ，（a＞0），

∴曲線C的普通方程為y2=2ax，（a＞0）；

∵l的參數方程為： （t為參數），

∴消去參數得l的直角坐標方程為：x﹣y+2=0

（2）解：將l的參數方程： （t為參數）代入y2=2ax，（a＞0），

得： ，

△=8a2﹣32a＞0，解得a＞4，

，t1t2=8a，

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，

∴|t1﹣t2|2=|t1t2|，∴（2 ）2﹣4×8a=8a，

解得a=5

【解析】（1）曲線C轉化為ρ2sin2θ=2aρcosθ，（a＞0），由此能求出曲線C的普通方程；l的參數方程消去參數能求出l的直角坐標方程．（2）將l的參數方程代入曲線C的普通方程，得： ，由根的差別式得a＞4，由韋達定理得 ，t1t2=8a，由此利用|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，能求出a．