Question

如圖是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁被一個平面截去一部分后得到的幾何體ABCD-A₁EFD₁，其中EF∥BC，且AB=2AA₁=2A₁D₁=2A₁E．
（1）求異面直線CE與DB所成的角；
（2）若在棱CD上存在點G，滿足AF⊥平面D₁EG，試確定點G的位置．

Answer 1

分析：（1）以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，要求直線CE與DB的夾角，代入向量夾角公式，可先求出

CE

與

DB

所成角的余弦，進而可求角
（2）可先設G的坐標，由AF⊥平面D₁EG，可知

AF

⊥

EG

，

AF

⊥

ED1

，利用向量的數量積的性質可求

解答：解：（1）以點D為坐標原點建立空間直角坐標系，設AB=2a，由AB=2AA₁=2A₁D₁=2A₁E．
可AB=2AA₁=2A₁D₁=2A₁E=2a，依題意得D（0，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），E（a，a，a）F（0，a，a），A（a，0，0），D₁（0，0，a）
∴

DB

=（a，2a，0），

CE

=（a，-a，a）
∴cos＜

DB

，

CE

＞=

DB • CE

| DB || CE |

=

-a2

5 a• 3 a

=

- 15

15

∴異面直線CE與DB所成的角為arccos

15

15

（2）證明：設G（0，m，0）易知

AF

=（-a，a，a），

EG

=（-a，m-a，-a），

ED1

=(-a，-a，0)
∵AF⊥平面D₁EG，
∴

AF

⊥

EG

，

AF

⊥

ED1

，
∴

AF

•

EG

=（-a）•（-a）+a（m-a）-a•a=0
∴m=a即G（0，a，0）
∴G為CD的中點時，滿足AF⊥平面D₁EG，

點評：本題考查的知識點是用空間向量求異面直線間的夾角、直線與平面垂直的判定，用空間向量求直線的夾角，其中建立適當的空間坐標系，將空間線、面夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．