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若不等式m≤
1
2x
+
2
1-x
當x∈（0，l）時恒成立，則實數m的最大值為（　　）
A．9B．
9
2
C．5D．
5
2
設f（x）=
1
2x
+
2
1-x
=
1
2
x
+
2
1-x
（0＜x＜1）
而
1
2
x
+
2
1-x
=[x+（1-x）]（
1
2
x
+
2
1-x
）=
5
2
+
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x

∵x∈（0，l），得x＞0且1-x＞0
∴
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
≥2
1
2
(1-x)
x
×
2x
1-x
=2，
當且僅當
1
2
(1-x)
x
=
2x
1-x
=1，即x=
1
3
時
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
的最小值為2
∴f（x）=
1
2x
+
2
1-x
的最小值為f（
1
3
）=
9
2

而不等式m≤
1
2x
+
2
1-x
當x∈（0，l）時恒成立，即m≤（
1
2x
+
2
1-x
）min
因此，可得實數m的最大值為
9
2

故選：B
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）求關于x的不等式4x-2x+3+7＜0的解集構成的區間的長度；
（2）若關于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為
6
，求實數a的值；
（3）已知關于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過
π
3
，求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）求不等式
2x-1
x+3
＜1的解集所構成的區間的長度；
（2）若關于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為
6
，求實數a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•成都二模）若不等式m≤
1
2x
+
2
1-x
當x∈（0，l）時恒成立，則實數m的最大值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出以下四個結論：
①函數f(x)=
x-1
2x+1
的對稱中心是(-
1
2
，-
1
2
)；
②若不等式mx2-mx+1＞0對任意的x∈R都成立，則0＜m＜4；
③已知點P（a，b）與點Q（l，0）在直線2x-3y+1=0兩側，則3b-2a＞1；
④若將函數f(x)=sin(2x-
π
3
)的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位后變為偶函數，則φ的最小值是
π
12
．
其中正確的結論是：
 
．

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