Question

（2013•成都二模）若不等式m≤

1

2x

+

2

1-x

當x∈（0，l）時恒成立，則實數m的最大值為（　　）

• A．9
• B．

  9

  2

• C．5
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：設f（x）=

1

2x

+

2

1-x

，根據形式將其化為f（x）=

5

2

+

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

．利用基本不等式求最值，可得當且僅當x=

1

3

時

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

的最小值為2，得到f（x）的最小值為f（

1

3

）=

9

2

，再由題中不等式恒成立可知m≤（

1

2x

+

2

1-x

）_min
由此可得實數m的最大值．

解答：解：設f（x）=

1

2x

+

2

1-x

=

1 2

x

+

2

1-x

（0＜x＜1）
而

1 2

x

+

2

1-x

=[x+（1-x）]（

1 2

x

+

2

1-x

）=

5

2

+

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

∵x∈（0，l），得x＞0且1-x＞0
∴

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

≥2

1 2 (1-x) x × 2x 1-x

=2，
當且僅當

1 2 (1-x)

x

=

2x

1-x

=1，即x=

1

3

時

1 2 (1-x)

x

+

2x

1-x

的最小值為2
∴f（x）=

1

2x

+

2

1-x

的最小值為f（

1

3

）=

9

2

而不等式m≤

1

2x

+

2

1-x

當x∈（0，l）時恒成立，即m≤（

1

2x

+

2

1-x

）_min
因此，可得實數m的最大值為

9

2

故選：B

點評：本題給出關于x的不等式恒成立，求參數m的取值范圍．著重考查了利用基本不等式求函數的最值和不等式恒成立問題的處理等知識，屬于中檔題．