Question

已知：當x∈R時，不等式x²-4ax+2a+6≥0恒成立．
（1）求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求函數f（a）=-a²+2a+3的最值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得△=16a²-4（2a+6）≤0，解不等式可求a的范圍．
（2）由（1）可得-1≤a≤

3

2

，f（a）=-a²+2a+3=-（a-1）²+4在[-1，1]單調遞增，在[1，

3

2

]單調遞減，結合二次函數的性質可求最值．

解答：解：（1）△=16a²-4（2a+6）≤0
-1≤a≤

3

2

（2）-1≤a≤

3

2

，f（a）=-a²+2a+3=-（a-1）²+4在[-1，1]單調遞增，在[1，

3

2

]單調遞減
當a=1時f（a）_max=f（1）=4
當a=-1時，f（a）_min=f（-1）=0．

點評：本題主要考查了二次不等式恒成立求解參數的范圍，解題的關鍵是要注意與二次函數的圖象相互轉化的思想．