Question

已知函數f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數解，求實數a的取值范圍；
（2）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）求函數h（x）=|f（x）|+g（x）在區間[-2，2]上的最大值（直接寫出結果，不需給出演算步驟）．

Answer 1

分析：（1）關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數解，可轉化為|x-1|（|x+1|-a）=0只有一個解，進而轉化為|x+1|=a，有且僅有一個等于1的解或無解，進行判斷得出參數范圍即可．
（2）根據自變量的取值范圍進行分類討論求參數的范圍即可，此分類討論是根據自變量進行分類的，故求得的參數范圍必須求交集教參能滿足恒成立．
（3）將所給的函數寫成分段函數的形式，在每一段上對函數的最值進行討論，求出最大值，再比較兩段上的最值得到函數的最大值，由于參數的影響，函數的單調性不確定，故可以根據需要分成三段進行討論

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且僅有一個等于1的解或無解，
由此得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）對x∈R恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）對x∈R恒成立，
①當x=1時，（*）顯然成立，此時a∈R；
②當x≠1時，（*）可變形為a≤

x2-1

|x-1|

，令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

因為當x＞1時，φ（x）＞2，當x＜1時，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此時a≤-2．
綜合①②，得所求實數a的取值范圍是a≤-2．
（3）因為h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax-a-1，(x≥1) -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1) x2-ax+a-1，(x＜-1)

（10分）
當

a

2

＞1，即a＞2時，結合圖形可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，經比較，此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．
當0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時，結合圖形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．
當-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0時，結合圖形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
當-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2時，結合圖形可知h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上遞減，
在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上遞增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
當

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3時，結合圖形可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0．
綜上所述，當a≥0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3；
當-3≤a＜0時，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當a＜-3時，h（x）在[-2，2]上的最大值為0．（14分）

點評：本題考查函數的零點與方程的根的關系，解題的關鍵是根據所給的條件及相關知識對問題進行正確轉化，本題比較抽象，對問題的轉化尤其顯得重要，本題在求解問題時用到了分類討論的思想，轉化化歸的思想，數學綜合題的求解過程中，常到到這兩個思想．