Question

已知函數f（x）=-

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x³+bx²-3a²x（a≠0）在x=a處取得極值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）設函數g（x）=2x³-3af′（x）-6a³如果g（x）在區間（0，1）上存在極小值，求實數a的取值范圍

Answer 1

分析：（1）利用f′（a）=0找到b=2a再代入f（x）=-

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x³+bx²-3a²x即可．
（2）轉化為g'（x）在區間（0，1）上有根且根兩側導函數值左負右正即可．

解答：解：（1）由題得 f′（x）=-x²+2bx-3a²，
因為f′（a）=0?b=2a?f（x）=-

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x³+2ax²-3a²x
所以f（x）=-

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x³+2ax²-3a²x．
（2）由已知，g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，令g'（x）=0?x=a或x=-2a
①若a＞0?當x＜a或x＞-2a時，g′（x）＞0；當-2a＜x＜a時，g′（x）＜0
所以當x=a∈（0，1）時，g（x）在（0，1）有極小值．
②同理當a＜0時，x=-2a∈（0，1），即a∈（-

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，0）時，g（x）在（0，1）有極小值
綜上所述：當a∈（0，1）∪（-

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2

，0）時，g（x）在（0，1）有極小值

點評：本題考查利用可導函數的極值點來研究原函數．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點