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已知矩形紙片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,將矩形紙片的右下角折起,使該角的頂點B落在矩形的邊AD上,且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB、BC上,設(shè)∠MNB=θ,MN=l.
(1)試將l表示成θ的函數(shù);
(2)求l的最小值.

【答案】分析:(1)將矩形紙片的右下角折起,使該角的頂點B落在矩形的邊AD上,則△MNE≌△MNB,EM+BM,由∠MNB=θ,MN=l.由AB=6cm,我們可得EM+AM=6,然后將EM與BM分別用含θ的式子表示,代入即可得到l表示成θ的函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,分析θ角的取值范圍,利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性,進而求出l的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè),如圖所示,△NBM≌△NEM,∠MNB=θ,MN=l,
∴∠AEM=90°-2θ,則MB=lsinθ,AM=l•sinθsin(90°-2θ),
由題設(shè)得:AM+MB=lsinθ+l•sinθsin(90°-2θ)=6,
從而得
即:
得:
故:l表示成θ的函數(shù)為:,().
(Ⅱ)設(shè):sinθ=t則u=t(1-t2)=t-t3,即u=t-t3
,u′=1-3t2令u′=0,得時,
u′>0,當時,u′<0,所以當時,
u取到最大值:
∴l(xiāng)的最小值為
點評:在求實際問題對應(yīng)的函數(shù)的解析式,我們一定要進一步分析自變量的取值范圍,這不僅是為了讓函數(shù)的解析式更準確,而且為利用函數(shù)的解析式求函數(shù)的值域,最值、單調(diào)性、奇偶性等打好基礎(chǔ).
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知矩形紙片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,將矩形紙片的右下角折起,使該角的頂點B落在矩形的邊AD上,且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB、BC上,設(shè)∠MNB=θ,MN=l.
(1)試將l表示成θ的函數(shù);
(2)求l的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知矩形紙片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,將矩形紙片的右下角折起,使得該角的頂點B落在矩形的邊AD上,且折痕MN的端點M,N分別位于邊AB,BC上,設(shè)∠MNB=θ,sinθ=t,MN長度為l.
(1)試將l表示為t的函數(shù)l=f(t);
(2)求l的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形紙片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,將矩形紙片的右下角折起,使得該角的頂點B落在矩形的左邊AD上,且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB、BC上,設(shè)∠MNB=θ,則θ的取值范圍為
[
π
12
π
4
]
[
π
12
π
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形紙片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,將矩形紙片的右下角折起,使得該角的頂點B落在矩形的邊AD上,且折痕MN的端點M,N分別位于邊AB,BC上,設(shè)∠MNB=θ,sinθ=t,MN長度為l.
(1)試將l表示為t的函數(shù)l=f(t),并給出這個函數(shù)的定義域;
(2)判斷這個函數(shù)的單調(diào)性,并給出證明;
(3)求l的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知矩形紙片ABCD中,AB=6,AD=12,將舉行制品的右下角沿線段MN折疊,使矩形的頂點B落在矩形的邊AD上,記該點為E,且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB,BC上,設(shè)∠MNB=θ,MN=l,△EMN的面積為S,
(1)將l表示成θ的函數(shù),并確定θ的取值范圍;
(2)問當θ為何值時,△EMN的面積S取得最小值?并求出這個最小值.

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