Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=12，將舉行制品的右下角沿線段MN折疊，使矩形的頂點B落在矩形的邊AD上，記該點為E，且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB，BC上，設∠MNB=θ，MN=l，△EMN的面積為S，
（1）將l表示成θ的函數，并確定θ的取值范圍；
（2）問當θ為何值時，△EMN的面積S取得最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）將一個圖形折起，注意其中變與不變的量，表示出要用的量，根據兩條線段的長度之和，寫出關于l的方程，表示出結果，得到函數式．
（2）對函數式求導，根據換元時的自變量的值，使得導函數等于0，解出自變量的值，根據函數的單調性求出函數的最小值．

解答：解：（1）設將矩形紙片的右下角折起后，頂點B落在邊AD上的E處，則∠ENM=θ，∠EMA=2θ
從而有：NB=lcosθ，MB=ME=lsinθ，AM=MEcos2θ=lsinθcos2θ．
∵AM+MB=6，∴lsinθcos2θ+lsinθ=6，
得：l=

6

sinθ•(cos2θ+1)

=

3

sinθ•cos2θ

又BN≤12，BM≤6，∴

π

12

≤θ≤

π

4

，∴l=

3

sinθ•cos2θ

(

π

12

≤θ≤

π

4

)
（2）S=

1

2

l2sinθcosθ=

9

2

•

1

sinθcos3θ

(

π

12

≤θ≤

π

4

)，∴S2=

81

4

•

1

sin2θcos6θ

設t=cos2θ(

1

2

≤t≤

2+ 3

4

)，記f（t）=t³-t⁴∴f′（t）=3t²-4t³
令f′（t）=0，∴t=

3

4

∴t=

3

4

時，即θ=

π

6

時f（t）取得最大值為

27

256

，S去最小值為8

3

點評：本題考查已知三角函數模型的應用問題，解答本題的關鍵是建立起符合條件的模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關知識進行運算，解三角形的應用一般是求距離注意應用三角形的邊與角．