Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的兩端點M、N分別位于邊AB、BC上，設∠MNB=θ，MN=l．
（1）試將l表示成θ的函數；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）將矩形紙片的右下角折起，使該角的頂點B落在矩形的邊AD上，則△MNE≌△MNB，EM+BM，由∠MNB=θ，MN=l．由AB=6cm，我們可得EM+AM=6，然后將EM與BM分別用含θ的式子表示，代入即可得到l表示成θ的函數的解析式．
（2）根據（1）的結論，分析θ角的取值范圍，利用導數法求出函數的單調性，進而求出l的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題設，如圖所示，△NBM≌△NEM，∠MNB=θ，MN=l，
∴∠AEM=90°-2θ，則MB=lsinθ，AM=l•sinθsin（90°-2θ），
由題設得：AM+MB=lsinθ+l•sinθsin（90°-2θ）=6，
從而得l=

6

sinθ+sinθsin(90°-2θ)

，
即：l=

6

sinθ+sinθcos2θ

，l=

3

sinθ•cos2θ

由

BN= 3 sinθcosθ ≤12 BM= 3 cos2θ ≤6 0＜θ＜ π 2

得：

π

12

≤θ≤

π

4

，
故：l表示成θ的函數為：l=

3

sinθ•cos2θ

，（

π

12

≤θ≤

π

4

）．
（Ⅱ）設：sinθ=t則u=t（1-t²）=t-t³，即u=t-t³，

π

12

≤θ≤

π

4

，u′=1-3t²令u′=0，得t=

3

3

當t＜

3

3

時，
u′＞0，當t＞

3

3

時，u′＜0，所以當t=

3

3

時，
u取到最大值：

3

3

-

1

3

3

3

=

2 3

9

，
∴l的最小值為

3

2 3 9

=

9 3

2

．

點評：在求實際問題對應的函數的解析式，我們一定要進一步分析自變量的取值范圍，這不僅是為了讓函數的解析式更準確，而且為利用函數的解析式求函數的值域，最值、單調性、奇偶性等打好基礎．