Question

定義在R上的函數f（x）滿足：f（1）=1，且對于任意的x∈R，都有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（log₂x）＞

log2x+1

2

的解集為

（0，2）

．

Answer 1

分析：設g（x）=f（x）-

1

2

x，由f′（x）＜

1

2

，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答：解：設g（x）=f（x）-

1

2

x，
∵f′（x）＜

1

2

，
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）為減函數，又f（1）=1，
∴f（log₂x）＞

log x 2 +1

2

=

1

2

log₂x+

1

2

，
即g（log₂x）=f（log₂x）-

1

2

log₂x＞

1

2

=g（1）=f（1）-

1

2

=g（log₂2），
∴log₂x＜log₂2，又y=log₂x為底數是2的增函數，
∴0＜x＜2，
則不等式f（log₂x）＞

log2x+1

2

的解集為（0，2）．
故答案為：（0，2）

點評：此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：利用導數研究函數的增減性，對數函數的單調性及特殊點，以及對數的運算性質，是一道綜合性較強的試題．