Question

將一個各個面上均涂有顏色的正方體鋸成n³（n≥3）個同樣大小的小正方體．
（1）若n=10，則從1000個小正方體中任取一個，恰好兩面涂有顏色的概率為

12

125

．
（2）從n³個小正方體中任取一個，至多有一面涂有顏色的概率為

n3-12n+16

n3

．

Answer 1

分析：（1）一個正方體有12條棱，而恰好兩面涂有顏色的小正方體恰好在棱上（除兩端的兩個），這樣總共有8×12=96個兩面涂有顏色的小正方體，由此不難計算從1000個小正方體中任取一個，恰好兩面涂有顏色的概率；
（2）至多有一面涂有顏色的小正方體分兩類：一面涂有紅色的和三面都沒有涂有顏色的．分別計算出這兩類的正方體的個數，得到共（n-2）²（n+4）個適合題意的小正方體，由此即可算出從n³個小正方體中任取一個，至多有一面涂有顏色的概率．

解答：解：（1）兩面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上（除兩端的兩個），
這樣每條棱有8個適合題意的小正方體，共有12條棱，
得8×12=96個兩面涂有顏色的小正方體，
∴恰好兩面涂有顏色的概率為：P₁=

96

1000

=

12

125

；
（2）①一面涂有紅色的小正方體在正方體的面上，且每個面都有（n-2）²個，
∴6個面總共6（n-2）²個一面涂有紅色的小正方體；
②三面都沒有涂有顏色的小正方體在大正方體的內部，
總共（n-2）³個三面都沒有涂有顏色的小正方體．
因此，至多一面涂有顏色的小正方體共有
（n-2）³+6（n-2）²=（n-2）²（n+4）個，
∴至多有一面涂有顏色的概率為P₂=

(n-2)2(n+4)

n3

=

n3-12n+16

n3

．
故答案為：

12

125

，

n3-12n+16

n3

點評：本題將一個大正方體分割成若干個小正方體，借助于幾何模型，著重考查了等可能性事件的概率和空間幾何體的基礎知識，屬于中檔題．