Question

（2010•邯鄲二模）將一個各個面上均涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體．
（Ⅰ）從這些小正方體中任取1個，求其中至少有兩面涂有顏色的概率；
（Ⅱ）從中任取2個小正方體，記2個小正方體涂上顏色的面數之和為ξ．求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）鋸成的27個小正方體中，有三面有色的有8個，二面有色的有12個，一面有色的有6個，沒有色的有1個．其中至少有兩面涂顏色包括兩面涂色的和三面涂色的兩種情況，這兩種情況是互斥的．
（II）從中任取2個小正方體，2個小正方體涂上顏色的面數之和是ξ，由題意可得：ξ可能取的值為：1，2，3，4，5，6．再結合題意分布求出其發生的概率得ξ的分布列，進而求出ξ的數學期望．

解答：解：依題意可知，鋸成的27個小正方體中，有三面有色的有8個，二面有色的有12個，一面有色的有6個，沒有色的有1個．…（3分）
（Ⅰ） 從這些小正方體中任取1個，含有面數為i的事件為A_i（i=0，1，2，3），
則其中至少有兩面涂顏色的概率P=P（A₂）+P（A₃）=

12

27

+

8

27

=

20

27

；…（6分）
（Ⅱ）根據題意，ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5	6
P	6 351	27 351	80 351	114 351	96 351	28 351

…（10分）
ξ的數學期望為Eξ=1×

6

351

+2×

27

351

+3×

80

351

+4×

114

351

+5×

96

351

+6×

28

351

=4．…（12分）

點評：本題考查等可能事件的概率和互斥事件的概率，離散型隨機變量及其分布列．本題解題的關鍵是對于所給的各個面上均涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體，鋸開后包括的各種結果的小正方形的個數．